Question

（2013•婺城區模擬）已知點P是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左支上一點，F₁，F₂是雙曲線的左、右兩個焦點，且PF₁⊥PF₂，PF₂與兩條漸近線相交于M，N兩點（如圖），點N恰好平分線段PF₂，則雙曲線的離心率是（　　）

• A．

  5

• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：在三角形F₁F₂P中，點N恰好平分線段PF₂，點O恰好平分線段F₁F₂，根據三角形的中位線定理得出ON∥PF₁，從而得到∠PF₁F₂正切值，可設PF₂=bt．PF₁=at，再根據雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，進而根據勾股定理建立等式求得a和b的關系，則離心率可得．

解答：解：在三角形F₁F₂P中，點N恰好平分線段PF₂，點O恰好平分線段F₁F₂，
∴ON∥PF₁，又ON的斜率為

b

a

，
∴tan∠PF₁F₂=

b

a

，
在三角形F₁F₂P中，設PF₂=bt．PF₁=at，
根據雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F₁F₂P中，|PF₂|²+|PF₁|²=4c²，∴b²t²+a²t²=4c²，②
由①②消去t，得(a2+b2)

4a2

(b-a)2

=4c2，
又c²=a²+b²，
∴a²=（b-a）²，即b=2a，
∴雙曲線的離心率是

c

a

=

a2+b2

a

=

5

，
故選A．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查了學生對雙曲線定義和基本知識的掌握，屬于基礎題．