【題目】設(shè)橢圓
(
)的離心率為
，圓
與
軸正半軸交于點
，圓
在點處的切線被橢圓
截得的弦長為
．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點
處的切線交橢圓于點
，試判斷
是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.
【答案】（1）
； （2）見解析.
【解析】
（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計算A的坐標(biāo)，計算切線與橢圓交點坐標(biāo)，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可。（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示
，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可。
(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為
，由橢圓的離心率為
知，
，
∴橢圓
的方程可設(shè)為
.
易求得
，∴點
在橢圓上，∴
，
解得
，∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)當(dāng)過點
且與圓
相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線方程為
，由(Ⅰ)知，
，
，∴
.
當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為
，
，
∴
，即
.
聯(lián)立直線和橢圓的方程得
，
∴
，得
.
∵
，
∴
，
，
∴.
綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點
，都有.
在
中，由
與
相似得，
為定值.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某物流公司欲將一批海產(chǎn)品從A地運往B地，現(xiàn)有汽車、火車、飛機(jī)三種運輸工具可供選擇，這三種工具的主要參考數(shù)據(jù)如下：
運輸工具 | 途中速度（ | 途中費用（元/ | 裝卸時間（ | 裝卸費用（元/ |
汽車 | 50 | 80 | 2 | 200 |
火車 | 100 | 40 | 3 | 400 |
飛機(jī) | 200 | 200 | 3 | 800 |
若這批海產(chǎn)品在運輸過程中的損耗為300元/
，問采用哪種運輸方式比較好，即運輸過程中的費用與損耗之和最小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
與燒開一壺水所用時間
的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖)．
|
|
|
|
|
|
|
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
．
（1）根據(jù)散點圖判斷，
與
哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)
（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)的回歸方程；
（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量
成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數(shù)據(jù)
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某企業(yè)甲,乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為
和
,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品
,乙組研發(fā)新產(chǎn)品
.設(shè)甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨立的.
(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;
(2)若新產(chǎn)品
研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲得
萬元,若新產(chǎn)品
研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲得利潤
萬元,求該企業(yè)可獲得利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報告中向全國人民發(fā)出的口號．某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)
，如表所示：
試銷單價 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
產(chǎn)品銷量 |
| 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知
．
（1）求出
的值；
（2）已知變量
具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量
（件）關(guān)于試銷單價
（元）的線性回歸方程
；可供選擇的數(shù)據(jù)：
，
；
（3）用
表示用（2）中所求的線性回歸方程得到的與
對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計值．當(dāng)銷售數(shù)據(jù)
對應(yīng)的殘差的絕對值
時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取3個，求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)
的分布列和數(shù)學(xué)期望
．
（參考公式：線性回歸方程中
的最小二乘估計分別為
，
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】函數(shù)
在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為
的圖象與x軸的交點，且
為等邊三角形.將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>
倍后，再向右平移
個單位，得到函數(shù)
的圖象.
（1）求函數(shù)
的解析式；
（2）若不等式
對任意
恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
.如果數(shù)列
滿足
， 
，其中
，則稱
為
的“陪伴數(shù)列”.
（Ⅰ）寫出數(shù)列
的“陪伴數(shù)列”
；
（Ⅱ）若
的“陪伴數(shù)列”是
.試證明： 
成等差數(shù)列.
（Ⅲ）若
為偶數(shù)，且
的“陪伴數(shù)列”是
，證明： 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知動點M到定點F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為
．
（1）求動點M軌跡C的方程；
（2）設(shè)N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值？若是的求出這個值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
: 
的左右焦點分別
，過
作垂直于
軸的直線
交橢圓于
兩點，滿足
.
（1）求橢圓的離心率.
（2）
是橢圓短軸的兩個端點，設(shè)點
是橢圓上一點（異于橢圓的頂點），直線
分別與軸相交于
兩點，
為坐標(biāo)原點，若
，求橢圓的方程.
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