Question

【題目】定義在R上的函數y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，對任意的a，b∈R都有f（a+b）=f（a）f（b）且對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（1）求f（0）；
（2）證明：函數y=f（x）在R上是增函數；
（3）若f（x）f（2x﹣x2）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令a=b=0，f（0）=[f（0）]2，又∵f（0）≠0，∴f（0）=1

（2）解：證明：設任意x1＜x2，則x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，

f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）f（x1），

∵f（x1）＞0，∴ ，

∴f（x2）＞f（x1），

∴函數y=f（x）在R上是增函數

（3）解：f（x）f（2x﹣x2）=f（3x﹣x2）＞f（0），

∵f（x）是R上增函數，

∴3x﹣x2＞0，

∴0＜x＜3

【解析】（1）令a=b=0，可求f（0）=1，（2）設任意x1＜x2，則x2﹣x1＞0，可得到f（x2）＞f（x1），即函數為單調遞增，（3）利用函數的單調性及抽象函數的關系進行求解即可.