Question

已知：在函數的圖象上，f（x）=mx³-x以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為

π

4

．
（I）求m，n的值；
（II）是否存在最小的正整數k，使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數k，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）求出f′（x），然后把切點N的橫坐標代入f′（x）表示出直線的斜率等于tan

π

4

，得到關于m的方程，求出m的值，然后把N（1，n代入到f（x）即可得到n的值；
（II）要使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立，即要k≥f（x）_max+1993即要求出f（x）的最大值，方法是令f′（x）=0求出x的值，然后在[-1，3]區間上，利用x的值分三種情況討論f′（x）的正負得到函數的單調區間，然后利用函數的增減性得到函數的最大值，列出關于k的不等式，求出解集即可得到滿足題意k的最小的正整數解．

解答：解：（I）根據求導法則求出f（x）的導函數f′（x）=3mx²-1，
由f（x）=mx³-x以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為

π

4

．，
得f′(1)=tan

π

4

，即3m-1=1，m=

2

3

．
把（1，n）代入到f（x）中得：

2

3

-1=n，解得n=-

1

3

．
（II）令f'（x）=2x²-1=0，得x=±

2

2

．
當-1＜x＜-

2

2

時，f'（x）=2x²-1＞0；
當-

2

2

＜x＜

2

2

時，f'（x）=2x²-1＜0；
當

2

2

＜x＜3時，f'（x）=2x²-1＞0；
又f(-1)=

1

3

，f(-

2

2

)=

2

3

，f(

2

2

)=-

2

3

，f(3)=15．
因此，當x∈[-1，3]時，-

2

3

≤f(x)≤15．
要使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1993=2008．
所以，存在最小的正整數k=2008．使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立．

點評：考查學生會利用導數研究曲線上過某點切線方程的斜率，理解函數恒成立時所取的條件，會利用導數求閉區間上函數的最大值，掌握直線傾斜角與斜率的關系．