Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線為．

（）若直線的斜率為，求函數的單調區間．

（）若函數是區間上的單調函數，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為和，單調減區間為；（2）或

【解析】試題分析：（1）求得的導數，可得切線的斜率，由條件可得，由導數大于0，可得增區間，由導數小于0，可得減區間；（2）由題意可得當函數在遞增（或遞減），即有或）對成立，只要在上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函數的對稱軸，討論區間和對稱軸的關系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范圍.

試題解析：（）由得，

若曲線在點處的切線的斜率為，

則，

∴， ，

令，得或；

令，得，

∴函數的單調增區間為和，單調減區間為．

（）①當函數在區間上單調遞減時， 對成立，

即對成立，

根據二次函數的性質，只需要，

解得，

又，所以；

②當函數在區間上單調遞增時， 對成立，

只需在上的最小值大于等于即可，

函數的對稱軸為，

當時， 在上的最小值為，

∴，解得或，

此種情形不成立；

當時， 在上的最小值為，

∴，解得；

綜上所述，實數的取值范圍是或．