Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是 (為參數)，以原點為極點， 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；

(Ⅱ)已知直線與曲線交于， 兩點，與軸交于點，求.

Answer 1

【答案】（1）直線l的直角坐標方程為x－y－2＝0；（2）3.

【解析】試題分析：(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標和直角坐標方程的互化公式求得直線的直角坐標方程；(2)先得到直線的參數方程，將直線的參數方程代入到圓的方程，得到關于的一元二次方程，由根與系數的關系、參數的幾何意義進行求解.

試題解析：(1)由曲線C的參數方程 (α為參數) (α為參數)，

兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；

由直線l的極坐標方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，

即直線l的直角坐標方程為x－y－2＝0.

(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數方程為 (t為參數)．

設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，

將 (t為參數)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，

則Δ>0，由韋達定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.