Question

【題目】底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．已知同底的兩個正三棱錐內接于同一個球．已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為R．設兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為α、β，則tan（α+β）的值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由題意畫出圖象如下圖：

由圖得，右側為該球過SA和球心的截面，由于三角形ABC為正三角形，
所以D為BC中點，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC，
故∠SDA=α，∠MDA=β．
設SM∩平面ABC=P，則點P為三角形ABC的重心，且點P在AD上，SM=2R，AB=a，
∴ ，
因此
= ，
所以答案是： ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用兩角和與差的正切公式和球內接多面體的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的正切公式：；球的內接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．