Question

【題目】如圖1，在平行四邊形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分別為AB，A1B1的中點，現把平行四邊形ABB1A1沿CC1折起如圖2所示，連接B1C，B1A，B1A1 ．
（1）求證：AB1⊥CC1；
（2）若AB1= ，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CC1的中點O，連接OA，OB1，AC1，

∵在平行四邊形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分別為AB，A1B1的中點，

∴△ACC1，△B1CC1，為正三角形，

則AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，

∴C1C⊥平面OAB1，

∵AB1平面OAB1

∴AB1⊥CC1

（2）解：∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分別為AB，A1B1的中點，

∴AC=2，OA= ，OB1= ，

若AB1= ，

則OA2+OB12=AB12，

則三角形AOB1為直角三角形，

則AO⊥OB1，

以O為原點，以0C，0B1，OA為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則C（1，0，0），B1（0， ，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0， ），

則 =（﹣2，0，0），

則 = =（﹣2，0，0）， =（0， ，﹣ ）， =（﹣1，0，﹣ ），

設平面AB1C的法向量為 =（x，y，z），

則 ，

令z=1，則y=1，x=﹣ ，

則 =（﹣ ，1，1），

設平面A1B1A的法向量為 =（x，y，z），則 ，

令z=1，則x=0，y=1，即 =（0，1，1），

則cos＜ ， ＞= = =

由于二面角C﹣AB1﹣A1是鈍二面角，

∴二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是﹣ ．

【解析】（1）根據線面垂直的性質定理，證明C1C⊥平面OAB1；（2）建立空間坐標系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．