Question

(本小題滿分14分) 如圖3所示，四棱錐中，底面為正方形， 平面，，，，分別為、、的中點．
（1）求證：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

Answer 1

（1）證明略；
（2）

（1）證法1：∵平面，平面，∴．
又為正方形，∴．
∵，∴平面．……………………………………………3分
∵平面，∴．
∵，∴．…………………………………………………………6分
證法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， ，，，．………4分
∵，∴．………6分

（2）解法1：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，，……………8分
設平面DFG的法向量為，
∵
令，得是平面的一個法向量．…………………………10分
設平面EFG的法向量為，
∵
令，得是平面的一個法向量．……………………………12分
∵．
設二面角的平面角為θ，則．
所以二面角的余弦值為．………………………………………14分
解法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，W
則，，，，，
，，．………………………………8分
過作的垂線，垂足為，
∵三點共線，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．………………………………………………10分
再過作的垂線，垂足為，
∵三點共線，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．……………………………………………12分
∴．
∵與所成的角就是二面角的平面角，
所以二面角的余弦值為．………………………………………14分