Question

【題目】已知函數f（x）=kx，g（x）= ．
（1）求函數g（x）= 的單調區間；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在區間（0，+∞）上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）= ，x＞0，故其定義域為（0，+∞），

∴ ，

令g′（x）＞0，得0＜x＜e，

令g′（x）＜0，得x＞e，

故函數 的單調遞增區間為（0，e），單調遞減區間為（e，+∞）．

（2）解：∵ ，∴k ，

令 ，

又 ，

令h′（x）=0，解得 ，

當x在（0，+∞）內變化時，h′（x），h（x）變化如下表

x
h′（x）	+	0	﹣
h（x）	↗		↘

由表知，當時函數h（x）有最大值，且最大值為 ，

所以 ．

【解析】（1）由g（x）= ，知 ，由此能求出函數 的單調區間．（2）由 ，知k ，令 ，知 ，由此能求出實數k的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．