Question

【題目】已知 是平面內凸三十五邊形的35個頂點，且中任何兩點之間的距離不小于 . 證明：從這35個點中可以選出五個點，使得這五個點中任意兩點之間的距離不小于3．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明一個引理

引理 設 為 這35個點中的任意一點．則在余下的34個點中，至多六個點與點的距離小于3．

證明 用反證法.

如圖，假設有7個點(不妨設為)與點的距離小于3．

由題設知.

故 這六個角中至少有一個角不大于（不妨設）.

設，.則.

根據對稱性不妨設.

由于，因此，

在區間)上為增函數．

故.

從而，與條件矛盾.

回到原題．

根據引理，從點出發的34條線段中至多有6條線段的長度小于3，即至少有28條線段的長度不小于3．不妨設線段的長度不小于3.

再考慮從點出發的27條線段．同理，至少有21條線段的長度不小于3．不妨設線段的長度不小于3．

再考慮從點出發的20條線段．同理，至少有14條線段的長度不小于3．不妨設線段的長度不小于3．

再考慮從點出發的13條線段．同理，至少有7條線段的長度不小于3．不妨設線段的長度不小于3．

這樣得到五個點、、、、 ，其中任意兩點之間的距離不小于3．