Question

【題目】在多面體中，是邊長為的正方形，，平面平面，，。

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）推導出BE⊥BC，BD⊥CE，從而BE⊥平面ABCF，進而BE⊥AB，再由AB⊥CE，得AB⊥平面BCDE，從而CF⊥平面BCDE，進而CF⊥BD，由此能證明BD⊥平面CFE．（2）以B為原點，向量 分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線EF與平面ADF所成角的正弦值．

（1）∵BCDE是正方形，∴BE⊥BC，BD⊥CE，

∵平面ABCF⊥平面BCDE，平面ABCF∩平面BCDE＝BC，

∴BE⊥平面ABCF，∴BE⊥AB，∵AB⊥CE，BE∩CE＝E，

∴AB⊥平面BCDE，∵CF∥AB，∴CF⊥平面BCDE，∴CF⊥BD，

∵CF∩CE＝C，∴BD⊥平面CFE．

（2）以B為原點，向量分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則E（0，2，0），F（2，0，1），A（0，0，2），D（2，2，0），則＝（2，﹣2，1），＝（﹣2，﹣2，2），＝（0，﹣2，1），設平面ADF的法向量＝（x，y，z），

則，取y＝1，得＝（1，1，2），

設直線EF與平面ADF所成角為θ，則sinθ＝＝＝．

∴直線EF與平面ADF所成角的正弦值為．