Question

（2012•浙江模擬）函數(shù)f(x)=x+

1

x

被稱為“耐克函數(shù)”．已知“耐克函數(shù)”的圖象為雙曲線，那么該雙曲線的實(shí)軸長為（　　）

• A．2

  2

• B．2

  5

• C．2

  2+2 2

• D．2(

  2

  +1)

Answer 1

分析：作出“耐克函數(shù)”的圖象如圖，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，得雙曲線的實(shí)軸在直線y=x與x=0所成角的平分線上，如函數(shù)圖象截直線而得的線段AB．利用三角函數(shù)公式算出直線的方程，再由直線方程與函數(shù)f(x)=x+

1

x

聯(lián)解，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到該雙曲線的實(shí)軸長．

解答：解：作出“耐克函數(shù)”的圖象如圖，可得
該雙曲線的漸近線為直線y=x和x=0
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，得雙曲線的實(shí)軸在直線y=x與x=0所成角的平分線上，
且為角平分線被“耐克函數(shù)”截得的線段AB．
設(shè)實(shí)軸實(shí)軸所在直線為y=kx，其中k=tan67.5°
∵tan135°=tan（2×67.5°）=-1
∴由二倍角的正切公式，得

2tan67.5°

1-tan267.5°

=-1
解之得tan67.5°=

2

+1
∴實(shí)軸所在直線為y=（

2

+1）x，
由

y=( 2 +1)x y=x+ 1 x

消去y，整理得x²=

2

2

，代入得y²=

2

2

（

2

+1）²=

3 2

2

+2
因此直線y=（

2

+1）x交曲線y=x+

1

x

于點(diǎn)A（x₁，y₁）和點(diǎn)B（x₂，y₂），
滿足x₁²=x₂²=

2

2

，y₁²=y₂²=

3 2

2

+2
∴|OA|=|OB|=

2 2 +( 3 2 2 +2)

=

2+ 2

，可得實(shí)軸為|AB|=2

2+ 2

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出“耐克函數(shù)”圖象對(duì)應(yīng)的雙曲線，求該雙曲線的實(shí)軸，著重考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)和雙曲線的幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．