Question

設a＞0，如圖，已知直線l：y=ax及曲線C：y=x²，C上的點Q₁的橫坐標為a₁（0＜a₁＜a）．從C上的點Q_n（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點P_n+1，再從點P_n+1作直線平行于y軸，交曲線C于點Q_n+1．Q_n（n=1，2，3，…）的橫坐標構成數列{a_n}．
（Ⅰ）試求a_n+1與a_n的關系，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當時，證明；
（Ⅲ）當a=1時，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據Q_n，P_n+1，Q_n+1的坐標進而求得，進而通過公式法求得{a_n}的通項公式．

（2）把a=1代入，根據可推斷，由于當k≥1時，．進而可知．

（3）由（Ⅰ）知，當a=1時，代入中，進而根據證明原式．
解答：（Ⅰ）解：∵．
∴，
∴
=
=，
∴．

（Ⅱ）證明：由a=1知a_n+1=a_n²，
∵，∴．
∵當k≥1時，．
∴；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，，
因此
==．
點評：本小題主要考查二次函數、數列、不等式等基礎知識，綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力，