Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中點，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC= ．

（1）求證：CF∥平面PAB；
（2）求證：PE⊥平面ABCD；
（3）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AP的中點M，連接MF，MB，

因為M是AP中點，F是PD中點，

所以 ，

又因為 ，

所以四邊形BCFM是平行四邊形，所以FC∥BM，

又FC面ABP，BM面ABP

所以FC∥面ABP

（2）證明：連接CE，

因為在△ABP中，AB=AP=BP，點E是邊AB在的中點，

所以PE⊥AB且 ，

在Rt△BEC中，BE=EC=1，EB⊥BC，所以

在△PEC中， ， ， ，

所以PE⊥EC

又因為AB∩EC=E，AB面ABCD，EC面ABCD

所以PE⊥面ABCD

（3）解：取CD中點N，以EB，EN，EP分別為軸x，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，各點坐標為：B（1，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0）， ，A（﹣1，0，0），

因為：BC⊥PE，AB⊥BC，所以BC⊥面ABP，面ABP的法向量為

設面ABP的法向量為 ， ，

，取x0=1，得 ，

由圖可知二面角為銳二面角，設銳二面角為θ，

，

二面角B﹣PA﹣C余弦值為 ．

【解析】（1）取AP的中點M，連接MF，MB，推導出四邊形BCFM是平行四邊形，從而FC∥BM，由此能證明FC∥面ABP．（2）連接CE，推導出PE⊥AB，PE⊥EC，由此能證明PE⊥面ABCD．（3）取CD中點N，以EB，EN，EP分別為軸x，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣C余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．