Question

【題目】已知橢圓，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為.證明：

（）直線的斜率與的斜率的乘積為定值.

（）若過點，延長線段與交于點，當四邊形為平行四邊形時，則直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用點差法即可證明；

（2）根據題意M是平行四邊形對角線的交點，利用坐標關系代換，構造齊次式解，再根據（1）的結論證得結論.

（1）設，直線不經過原點且不與坐標軸平行，

所以 ，

直線的斜率，直線的斜率，

，在橢圓上，兩式相減：

，兩邊同時除以

得，所以，

即

所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（2）四邊形為平行四邊形時，當且僅當與互相平分，

設，則，且在橢圓上，，即

由（1）得，，

所以，

整理得：，又因為

所以，即，兩邊平方得：

， ，

所以兩邊同時除以，

，

所以，

，

所以