Question

【題目】已知長方形中，，，為中點，將沿折起到△，所得四棱錐，如圖所示．

（1）若點為中點，求證：平面；

（2）求的體積；

（3）求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據中位線定理可證，進而可證是平行四邊形，所以，再由線面平行的判定定理可得結論；（2）由平面平面可得平面，算出的值進而可得的體積；（3）先證，再根據四棱錐中，，然后根據線面垂直的判定定理可得平面，進而可得結論.

試題解析：（1）證明：取中點，連接，，

∵在△中，點，分別是所在邊的中點，所以，

又，所以．

所以是平行四邊形，所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）∵平面平面，

在△中，作于，

∵平面平面，

∴平面，

在△中，計算可得，

∴．

（3）在矩形中，連接交于，

因為，，所以，

所以，

所以在四棱錐中，，，

又，所以平面，

因為平面，所以．