Question

如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.
（Ⅰ）若點是棱的中點，求證:平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為點是菱形的對角線的交點，
所以是的中點.又點是棱的中點，
所以是的中位線，.                     ………………1分
因為平面,平面,
所以平面.                          ………………3分
（Ⅱ）解：由題意，，
因為，
所以，. ………………4分
又因為菱形，所以，.
建立空間直角坐標系，如圖所示.
.
所以                    ………………6分
設平面的法向量為，
則有即：
令，則，所以.           ………………7分
因為,所以平面.    
平面的法向量與平行，
所以平面的法向量為.                      ………………8分
，
因為二面角是銳角，
所以二面角的余弦值為.               ……………9分
（Ⅲ）解：因為是線段上一個動點，設，，
則，
所以，                              ……………10分
則，，
由得，即，…………11分
解得或，                                        ……………12分
所以點的坐標為或.                          ……………13分
（也可以答是線段的三等分點，或）

略