Question

【題目】如圖，在四棱錐 中， ，且 .

（1）證明：平面 ⊥平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知 ，得AB⊥AP ， CD⊥PD.
由于AB∥CD ， 故AB⊥PD ， 從而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB ， 所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）解：在平面 內做 ，垂足為 ，
由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 .
以 為坐標原點， 的方向為 軸正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系 .

由（1）及已知可得 ， ， ， .
所以 ， ， ， .
設 是平面 的法向量，則
，即 ，
可取 .
設 是平面 的法向量，則
，即 ，
可取 .
則 ，
所以二面角 的余弦值為
【解析】本題主要考查面面垂直的判定以及利用空間向量求解二面角大小的問題。第一小題主要就是面面垂直判定定理的應用，要正面面面垂直，只要證明面內的一條線垂直于另一個平面即可，也就是要利用線面垂直的判定定理證明即可。第二問建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角公式求解二面角的大小。