Question

（2008•奉賢區(qū)一模）我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A，若存在數(shù)列{a_n}和實(shí)數(shù)x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，則稱(chēng)數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：A=

.

x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

．如：A=

.

2\～(-1)(3)(-2)(1)

，則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0）），試將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，ak+1=

1

1-ak

，k∈N*，bn=

.

2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

（n∈N^*）．求證：bn=

2

7

•8n-

2

7

．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=

.

t\～( C 1 n )( C 2 n )( C 3 n )…( C n-1 n )( C n n )

，求

lim

n→∞

dn

dn+1

．

Answer 1

分析：（1）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³，能將將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）a2=-1，a3=

1

2

，a4=2，a5=-1，a6=

1

2

，由an+1=

1

1-an

，知an+2=

1

1-an+1

=

1

1- 1 1-an

=

1-an

-an

，所以an+3=

1

1-an+2

=

1

1+ 1-an an

=a_n（n∈N*），由此能夠證明bn=

2

7

•8n-

2

7

．
（3）dn=

C

1 n

+

C

2 n

t+

C

3 n

t2+

C

4 n

t3…+

C

n n

tn-1=

C 1 n t+ C 2 n t2+ C 3 n t3+…+ C n n tn

t

=

[ C 0 n + C 1 n t+ C 2 n t2+ C 3 n t3+…+ C n n tn]-1

t

=

(1+t)n-1

t

，由此能夠求出

lim

n→∞

dn

dn+1

=

1 1+t ，t＞0 1，-1＜t＜0

．

解答：解：（1）m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³（2分）
則m=

.

x\～(1)(-2)(3)(-6)

（4分）
（2）a2=-1，a3=

1

2

，a4=2，a5=-1，a6=

1

2

，
∵an+1=

1

1-an

∴an+2=

1

1-an+1

=

1

1- 1 1-an

=

1-an

-an

∴an+3=

1

1-an+2

=

1

1+ 1-an an

=a_n（n∈N*），知{a_n}是周期為3的數(shù)列     （6分）
則bn=

.

2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

=[2+(-1)×2+

1

2

×22]+[2×23+(-1)×24+

1

2

×25]+…+[2×23n-3+(-1)×23n-2+

1

2

×23n-1]=[2+(-1)×2+

1

2

×22]×(1+23+26+…+23n-3)=2×

1-8n

1-8

=

2

7

×8n-

2

7

（10分）
（3）dn=

C

1 n

+

C

2 n

t+

C

3 n

t2+

C

4 n

t3…+

C

n n

tn-1=

C 1 n t+ C 2 n t2+ C 3 n t3+…+ C n n tn

t

=

[ C 0 n + C 1 n t+ C 2 n t2+ C 3 n t3+…+ C n n tn]-1

t

=

(1+t)n-1

t

（14分）
所以

lim

n→∞

dn

dn+1

=

lim

n→∞

(1+t)n-1

(1+t)n+1-1

=

1 1+t |1+t＞1 1|1+t＜1

，即

lim

n→∞

dn

dn+1

=

1 1+t ，t＞0 1，-1＜t＜0

（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．