Question

【題目】(2015·陜西）已知橢圓E: （a>b>0）的半焦距為c，原點0到經過兩點(c,0)，(0,b)的直線的距離為c．
（1）求橢圓E的離心率
（2）如圖，AB是圓M：（x+2）2+（y-1)=的一條直徑，若橢圓E經過A,B兩點，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

【解析】先寫過點(c,0)，(0,b)的直線方程，再計算原點o到該直線的距離，進而可得橢圓E的離心率；（II）先由（I）知橢圓E的方程，設AB的方程，聯立，消去y，可得x1+x2和x1x2的值，進而可得k，再利用|AB|=可得b2的值，進而可得橢圓E的方程．
試題解析：（I）過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0，
則原點O到直線的距離d=，
由d=，得a=2b=2，解得離心率=.
(II)解法一：由（I）知，橢圓E的方程為.x2+4y2=4b2(1)
依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點，且|AB|=.
易知，AB不與x軸垂直，設其直線方程為y=k(x+2)+1，代入(1)得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0
設A(x1,y1), B (x2, y2 ) 則x1+x2=-, x1·x2=-
由x1+x2=-4，得==-4解得k=
從而.x1·x2=8-2b2.
于是.|AB|=|x1-x2|==
由|AB|=，得=，解得b2=3
故橢圓E的方程為
解法二：由（I）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2. (2)
依題意，點A，B關于圓心M(-2,1)對稱，且|AB|=.
設A(x1,y1), B (x2, y2 )則，x12+4y12=4b2 ， x22+y22=4b2
兩式相減并結合x1+x2=-4, y1+y2=2得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0.
易知，AB不與x軸垂直，則x1≠x2 ， 所以AB的斜率kAB==
因此AB直線方程為y=(x+2)+1，代入(2)得x2+4x+8-2b2=0
所以，x1+x2=-4, x1·x2=8-2b2.
于是.|AB|=|x1-x2|==
由|AB|=，得=，解得b2=3.
故橢圓E的方程為.