Question

（本小題滿分13分）設是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線．
（Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；
（Ⅱ）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，
兩焦點坐標分別為，；
當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，
兩焦點坐標分別為，.
（Ⅱ）存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有.

本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關系，要求能正確理解橢圓的標準方程及其幾何性質，并能熟練運用代數方法解決幾何問題，對運算能力有較高要求。
（Ⅰ）如圖1，設，，則由，
可得，，所以，.           ①
因為點在單位圓上運動，所以.                 ②
將①式代入②式即得所求曲線的方程為.
因為，所以
當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，
兩焦點坐標分別為，；
當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，
兩焦點坐標分別為，.
（Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設，，則，，
直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得
.
依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達定理可得
，即.
因為點H在直線QN上，所以.
于是，.
而等價于，
即，又，得，
故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有.

解法2：如圖2、3，，設，，則，，
因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得
.                         ③
依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，
故. 于是由③式可得
.                             ④
又，，三點共線，所以，即. 
于是由④式可得.
而等價于，即，又，得，
故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有.