Question

【題目】在四棱錐中， 平面，底面為直角梯形， ， ， ，且為線段上的一動點．

（Ⅰ）若為線段的中點，求證： 平面；

（Ⅱ）當直線與平面所成角小于，求長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）取PA的中點F，連結EF，DF，證明四邊形EFDC是平行四邊形得出CE∥DF，故而CE∥平面PAD；
（2）證明BC⊥平面PAC，可知∠PCE為CE與平面PAC所成的角，利用余弦定理得出∠BPC，利用勾股定理得出PE的最大值即可得出PE的范圍．

試題解析：

解：（Ⅰ）取的中點，連接，∵為的中點．

∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，

∴平面．

（Ⅱ）方法一：∵，∴，又，∴，∴，又，∴平面

∴與平面所成角就是，∴．

∵，∴，∴．

∵，∴．

方法二：以為坐標原點，以直線為軸，直線為軸，直線為軸，

則，取線段中點，則．

易得，所以為平面的一個法向量．

可求得．

設， ， ，

設與平面所成的角，

所以，

化簡得，易得，所以．