Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當時，證明:；

（Ⅲ）求證:對任意正整數，都有 (其中為自然對數的底數).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求，再對 進行討論即可.

（Ⅱ）由題知即證，構造新函數設，利用導數只需即得證.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知,累加作和即得證.

（Ⅰ）易得，函數 ，

①當時，，所以在上單調遞增

②當時，令，解得 ．

當時，，所以，

所以在上單調遞減；

當時，，所以，

所以在上單調遞增．

綜上，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）當 時，.

要證明，

即證，即. 即.

設則

令得，.

當時，，

當時，.

所以為極大值點，也為最大值點

所以.

即.

故.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.

令，

則 ，

所以

,

即

所以.