Question

【題目】已知圓的圓心在直線： 上，與直線： 相切，且截直線： 所得弦長為6

（Ⅰ）求圓的方程

（Ⅱ）過點是否存在直線，使以被圓截得弦為直徑的圓經過原點?若存在，寫出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在直線.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由圓的圓心在直線： 上，故可設圓心坐標為，再根據圓與直線相切，截直線： 所得弦長為6，列出等式方程求解即可；（2）由題意過的直線斜率一定存在，設直線的方程為，以為直徑的圓過原點，則，設， ，則，聯立直線與圓的方程，消去，得到關于的一元二次方程，由，利用韋達定理即可求出.

試題解析：（Ⅰ）設圓心

∵圓與直線相切

∴

∵ 圓截直線： 所得弦長為6

∴圓到直線的距離為

∴

∴

∴圓心，

∴圓的方程

（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時， 不符合題意

②設：

設

∵被圓截得弦為直徑的圓經過原點

∴，即

∴

聯立直線與圓的方程

化簡可得，即

∴，

∵， ，

∴，即

∴

∵

∴無解

∴不存在直線.