Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若在區間上恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）判斷函數的零點個數.（直接寫出結論）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）有極大值，極大值為；沒有極小值；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據極值的定義求解；（Ⅱ）轉化為求函數的最值；（Ⅲ）根據函數的單調性和極值即可判斷.

解：（Ⅰ）當時，定義域為.

因為，所以.

令，解得，

		極大值

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

所以有極大值，極大值為；沒有極小值.

（Ⅱ）因為，所以在上恒成立，即在恒成立.

設

①當時，，不符合題意.

②當時，

.

令,即，

因為方程的判別式，兩根之積. 所以有兩個異號根. 設兩根為，且，

i）當時，

		極大值

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以，不符合題意；

ii）當時，，即時，

在單調遞減，所以當時，，符合題意.

綜上，.

（Ⅲ）當或時，有個零點；當且時，函數有個零點.