Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過拋物線上一點作拋物線的切線，交軸于點.

（1）判斷的形狀；

（2） 若兩點在拋物線上，點滿足，若拋物線上存在異于的點，使得經過三點的圓與拋物線在點處的有相同的切線，求點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) 為等腰三角形.

(2) 點的坐標為.

【解析】分析：（1）利用導數求得切線方程，令，可求得點坐標，根據拋物線的焦點半徑公式，即可求得，則為等腰三角形；（2）根據向量的坐標運算，求得點坐標，分別求得及的中垂線方程，即可求得外接圓的圓心，由，即可求得點的坐標.

詳解：（1）設，

∵，∴，

則切線的方程為，即，

∴，

∵，∴

所以為等腰三角形.

（2）設，

∵，∴是的中點，

∴，

∵在拋物線上，

∴，

∴或

∴兩點的坐標為，設（），

則由①②得圓心

由得，

∴或，

∵，

∴

∴點的坐標為.