Question

已知雙曲線（其中）.

（1）若定點到雙曲線上的點的最近距離為，求的值；

（2）若過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線交雙曲線于、兩點，其中，是雙曲線的右焦點.求△的面積.

 

Answer 1

【答案】

(1)或；(2) ．

【解析】

試題分析：(1)本題涉及兩點間距離，因此我們設雙曲線上任一點為，這樣可表示出距離的平方，注意到雙曲線上的點滿足，故要對進行分類討論以求最小值；(2)設，，由于，因此，而可以用直線方程與雙曲線方程聯立方程組，消去可得的一元二次方程，從這個方程可得，從而得三角形面積．

試題解析：（1）設點在雙曲線上，由題意得：。

由雙曲線的性質，得。      1分

（i）若，則當時，有最小值。最小值，所以。      3分

（ii）若，則當時，有最小值，此時，解得。      6分

（2），，直線與軸垂直時，，此時，△的面積=.          7分

直線與軸不垂直時，直線方程為，          8分

設，

解法1：將代入雙曲線方程，整理得：，即

          10分

所以，          11分

=.     14分

 解法2：將代入雙曲線方程，整理得：

，          10分

，，          11分

 

點到直線距離，

 △的面積

 =.     14分

考點：(1)定點到雙曲線上點的最短距離；(2)直線與雙曲線相交弦長及三角形面積．