Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)過點A（2，3），其一條漸近線的方程為y=

3

x．
（I）求該雙曲線的方程；
（II）若過點A的直線與雙曲線右支交于另一點B，△AOB的面積為

3

2

，其中O為坐標原點，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（I）由已知可設雙曲線的方程為(

3

x-y)(

3

x+y)=λ(λ＞0)，由雙曲線過點A可求λ，進而可求雙曲線的方程
（II）易知OA= 

13

，直線OA的方程為3x-2y=0，設B（x₀，y₀）（x₀≥1），則點B到直線OA的距離d=

|3x0-2y0|

13

又由條件知S△OAB=

1

2

•OA•d=

3

2

可求B及直線方程

解答：解：（I）由已知可設雙曲線的方程為(

3

x-y)(

3

x+y)=λ(λ＞0)
即3x²-y²=λ
又由雙曲線過點A（2，3），則3×4-9=λ，即λ=3
所以，所求的雙曲線的方程為：x2-

y2

3

=1
（II）易知OA= 

13

，直線OA的方程為3x-2y=0
設B（x₀，y₀）（x₀≥1），則點B到直線OA的距離d=

|3x0-2y0|

13

又由條件知S△OAB=

1

2

•OA•d=

3

2

即

1

2

×

13

×

|3x0-2y0|

13

=

3

2

于是|3x₀-2y₀|=3
①若3x₀-2y₀=3由

3x0-2y0=3 x 2 0 - y 2 0 3 =1

得x₀²+6x₀-7=0
解得x₀=1或x₀=-7（舍去），此時y₀=0即B（1，0）
②若3x₀-2y₀=-3由

3x0- 2 y0=-3 x 2 0 - y 2 0 3 =1

得x₀²-6x₀-7=0
解得，x₀=7或x₀=-1（舍去），此時y₀=12，即B（7，12）
所以所求的直線方程為3x-y-3=0或9x-5y-3=0

點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程，解題的關鍵是由漸近線方程y=

3

x可設雙曲線的方程為(

3

x-y)(

3

x+y)=λ(λ＞0)，而處理直線與曲線方程的位置關系的常見方法是聯立方程組，轉化為求解方程的問題．