Question

已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝x³－x²＋a x．
(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；
(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x³＋3bx²－6(b＋2)x  (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，
求證：g(x)的極大值小于或等于10．

Answer 1

(Ⅰ) 極小值為f (2)＝ (Ⅱ)證明如下

試題分析：(Ⅰ)解：當a＝2時，f ′(x)＝x²－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
列表如下：

x	(－，1)	1	(1，2)	2	(2，＋)
f ′(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以，f (x)的極小值為f (2)＝．              
(Ⅱ) 解：f ′ (x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
由于a＞1，所以f (x)的極小值點x＝a，則g(x)的極小值點也為x＝a．
而g′ (x)＝12x²＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以，
即b＝－2(a＋1)．
又因為1＜a≤2，所以  g(x)_極大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10．
故g(x)的極大值小于或等于10．        
點評：導數常應用于求曲線的切線方程、求函數的最值與單調區間、證明不等式和解不等式中參數的取值范圍等。