Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過定點斜率為的直線與橢圓交于兩點，若，求斜率的值；

（Ⅲ）若（Ⅱ）中的直線與交于兩點，設點在上，試探究使的面積為的點共有幾個？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和直線和圓相切的條件,結合的關系,解方程可得,進而得到橢圓方程；（Ⅱ）設直線方程為,代入橢圓方程,運用韋達定理和向量的數量積的坐標表示，解方程可得斜率；（Ⅲ）求得圓心到直線的距離，圓的弦長，由三角形的面積公式可得到的距離，結合半徑與圓心到直線的距離之差的關系，即可判斷的個數.

試題解析：（Ⅰ）原點到直線的距離.

所以，橢圓的方程為.

（Ⅱ）將直線與橢圓聯立，消去，整理得，由韋達定理得.

.

.

令，得.

（Ⅲ）由（2）知，直線的方程為或.

原點到直線的距離，弦長.

若上存在點使的面積為，則點到直線的距離

.

當直線的斜率時，有4個點使面積為；當直線的斜率時，有4個點使面積為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數量積公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.