Question

如圖所示，設矩形ABCD的AB=2，AD=3，E、F分別是AD、BC的三等分點中靠近D、C的那個分點，G為CD邊上的一個點．將此矩形沿EF折成直二面角．

第18題圖

(1)當平面BFG⊥平面BEG時，求G點的位置；

(2)在(1)的前提下，求直線GE與平面BFG所成的角．

Answer 1

答案：(1)建立如圖所示的坐標系，有F(0，0，2)、E(0，0，0)．

設G(1，0，z)，則=(1，0，z)，=(0，2，0)，=(0，-2，2)．

第18題圖

又設平面BEG的法向量為m=(a，b，c)，則

.

令c=1，得m=(-z，0，1)．

設平面BFG的法向量為n=(p，q，r)，則

.

令r=1，得n=(2-z，1，1)．

令m⊥n，得-z(2-z)+1=0z=1．

故當且僅當G為CD中點時，平面BFG⊥平面BEF．

(2)作EH⊥BG于H.

∴平面BFG⊥平面BEG，∴EH⊥平面BFG．

于是，∠EGH就是直線GE與平面BFG所成的角．

在ABGE中，∵EH·BG=BE·EG，

∴EH=

故sin∠EGH=.

∴∠EGH=arcsin.