Question

已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰為的中點,又知.

(Ⅰ)求證：平面；    
(Ⅱ)求到平面的距離；
(Ⅲ)求二面角的大小。

Answer 1

解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,
又,∴平面, 得,又,
∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,四邊形為菱形,故,
又為中點,知∴.取中點,則
平面,從而面面,…………6分
過作于,則面,在中,,故,即到平面的距離為.…………………8分
(Ⅲ)過作于,連,則,從而為二面角的平面角,在中,,∴,…………10分
在中,,故二面角的大小為.
…………………12分
解法：(Ⅰ)如圖,取的中點,則,∵,∴,
又平面,以為軸建立空間坐標系, …………1分

則,,,,,,
,,由,知,
又,從而平面.…………………4分
(Ⅱ)由,得.設平面的法向量
為,,,,
設,則.…………6分
∴點到平面的距離.…………………8分
(Ⅲ)設面的法向量為,,,
∴.…………10分
設,則,故,根據法向量的方向
可知二面角的大小為.…………………12分

略