Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，正方形所在的平面與正三角形ABC所在的平面互相垂直， ，且， 是的中點．

（1）求證： ∥平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) .

【解析】試題分析：證明線面平則只需在平面內找一線與之平行即可，通常找中位線和建立平行四邊形來證明，本題中可以容易發現連接AE交BF于點N，連接MN，可證MN為中位線；（2）二面角的問題通常借助于空間坐標系來求解，本題中可建立如圖的坐標系，然后求出各面的法向量，再根據向量的夾角公式即可得出結論

解析：（1）連接AE交BF于點N，連接MN．

因為ABEF是正方形，所以N是AE的中點，

又M是ED的中點，所以MN∥AD．

因為AD平面BFM，MN平面BFM，

所以AD∥平面BFM．

（2）因為ABEF是正方形，所以BE⊥AB，

因為平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，

所以BE⊥平面ABC，因為CD∥BE，所以取BC的中點O，

連接OM，則OM⊥平面ABC，因為△ABC是正三角形，所以OA⊥BC，

所以以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系：

設CD=1，則B（0，1，0），E（0，1，2），D（0，﹣1，1），

，．

設平面BMF的一個法向量為，

則，所以，

令，則z=﹣6，y=﹣9，所以．

又因為是平面BME的法向量，

所以．

所以二面角E﹣BM﹣F的余弦值為．