Question

【題目】已知圓C：x2+y2+10x+10y+34=0.

（Ⅰ）試寫出圓C的圓心坐標和半徑；

（Ⅱ）圓D的圓心在直線x=-5上，且與圓C相外切，被x軸截得的弦長為10，求圓D的方程；

（Ⅲ）過點P(0,2)的直線交（Ⅱ）中圓D于E，F兩點，求弦EF的中點M的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）圓心坐標為(-5,-5)，半徑為4；（Ⅱ）(x+5)2+(y-12)2=169；（Ⅲ）x2+y2+5x-14y+24=0.

【解析】試題分析：（Ⅰ）將圓的方程化為標準方程，即可得到圓心坐標和半徑；（Ⅱ）設圓的半徑為，圓心縱坐標為，由已知條件列出方程，求出與，由此能求出圓的方程；（Ⅲ）設，根據列出且，化簡可得到的軌跡方程.

試題解析：（Ⅰ）將圓的方程改寫為(x+5)2+(y+5)2=16，故圓心坐標為(-5,-5)，半徑為4.

（Ⅱ）設圓D的半徑為r，圓心縱坐標為b，由條件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13.

此時圓心縱坐標b=r-1=12.

所以圓D的方程為(x+5)2+(y-12)2=169.

（Ⅲ）設M(x,y)，依題意有DM⊥PM.

即（x≠0且x≠-5），

整理得x2+y2+5x-14y+24=0（x≠0且x≠-5）.

當x=0時，y=12，符合題意，當x=-5時，y=2，符合題意.

故所求點M的軌跡方程為x2+y2+5x-14y+24=0.