Question

已知兩點M（-3，0），N（3，0），若直線上存在點P，使|PM|+|PN|=10，則稱該直線為“A型直線”，給出直線：①x=

25

3

；②y=2x+3；③y=x+10；④y=-5x+1，其中是“A型直線”的是

 

．（填序號）

Answer 1

分析：已知點M（-3，0），N（3，0），若存在點P，使|PM|+|PN|=10，則點P的軌跡是橢圓，只需要判斷所給出直線與橢圓有沒有交點即可．

解答：解：已知點M（-3，0），N（3，0），且存在點P，使|PM|+|PN|=10，則點P的軌跡是橢圓，其方程為：

x2

25

+

y2

16

=1；
①x=

25

3

是橢圓的右準線，與橢圓無交點；
②與橢圓方程組成方程組，

y=2x+3 x2 25 + y2 16 =1

消去y，得116x²+300x+175=0，△=90000-4×116×175＞0，方程組有解，
∴直線與橢圓有交點，滿足條件；
③與橢圓方程組成方程組，

y=x+10 x2 25 + y2 16 =1

消去y，得41x²+500x+2100=0，△=2500-4×41×2100＜0，方程組無解，
∴直線與橢圓無交點，不滿足條件；
④與橢圓方程組成方程組，

y=-5x+1 x2 25 + y2 16 =1

消去y，得641x²-250x-375=0，△=62500-4×641×（-375）＞0，方程組有解，
∴直線與橢圓有交點，滿足條件；
故答案為：②④．

點評：本題通過構造橢圓，轉化為判斷直線與橢圓的交點問題，就容易解決了．