Question

【題目】如圖，四邊形是正方形， 平面， ， ， ， ， 分別為， ， 的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小；

（3）在線段上是否存在一點，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】試題分析： 建立平面直角坐標系，由， ， 證得平面

建立空間直角坐標系，根據兩個平面的法向量所成的角與二面角相等或互補，由兩個平面法向量所成的角求解二面角的大小；

⑶假設存在點，由共線向量基本定理得到點的坐標，其中含有一個未知量，然后利用直線與直線所成角為轉化為兩向量所成的角為，由兩向量的夾角公式求出點的坐標，得到的點的坐標符合題意，說明假設成立，最后得到結論。

解析：（1）∵平面， ，∴ 平面，

∴， ，又四邊形是正方形，

∴，故， ， 兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標系，∵，

∴， ， ，

， ， ，

∵， ， 分別為， ， 的中點，

∴， ， ，

，平面的一個法向量為，

又∵，

∴，又∵平面，∴ 平面.

（2）， ，

設為平面的一個法向量，

則，即，取，得，

， ，

設為平面的一個法向量，則，

即，取得，

∴ ，

∴平面與平面所成銳二面角的大小為.

（3）假設在線段上存在一點，使直線與直線所成角為，

設，其中，由，則，

又∵， ，∴，

∵直線與直線所成角為， ，

∴，即，解得，

∴， ，

∴在線段上存在一點，使直線與直線所成角為，此時.