Question

【題目】如圖，設橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，的面積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設，根據題意，得到，，從而可得，進而得到橢圓的方程；

（2）設圓心在軸上的圓與橢圓相交，是兩個交點，根據題意，利用圓和橢圓的對稱性，得到，再由，得到或，分類討論，即可求得圓的半徑.

（1）設，其中，

由，可得，

從而，故，

從而，由，得，

因此，所以，故，

因此，所求橢圓的標準方程為.

（2）如圖所示，設圓心在軸上的圓與橢圓相交，

由是兩個交點，是圓的切線，且，

由圓和橢圓的對稱性，易知，，

由（1）知，所以，

再由，得，

由橢圓方程得，即，解得或，

當時，重合，此時題設要求的圓不存在，

當時，過分別與垂直的直線的交點即為圓心，

由是圓的切線，且，知，

又，故圓的半徑.