Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn=2n+1，（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項an；
（2）設bn=nan+1 ， 求數列{bn}的前n項和Tn；
（3）設cn= ，求證：c1+c2+…+cn＜ ．（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1=S1=3，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，

∴數列{an}的通項an=

（2）解：由（1）可知bn=nan+1=n2n，

則Tn=121+222+323+…+n2n，

2Tn=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1，

兩式相減，得：﹣Tn=21+22+23+…+2n﹣n2n+1

=（1﹣n）2n+1﹣2，

∴Tn=2+（n﹣1）2n+1

（3）證明：由（1）可知cn= = ，

當n=1時，c1= ＜ ，

當n≥2時，c1+c2+…+cn= + + +…+

＜ + + +…+

= + + +…+

= ﹣

＜ ，

綜上所述，c1+c2+…+cn＜ （n∈N*）

【解析】（1）當n≥2時利用an=Sn﹣Sn﹣1計算，進而可得通項公式；（2）通過（1）可知bn=n2n ， 進而利用錯位相減法計算即得結論；（3）通過（1）可知數列{cn}的通項公式，分n=1與n≥2兩種情況討論即可，當n≥2時通過放縮cn= ＜ 即得結論．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．