Question

12、如圖，A，B，C，D四點都在平面a，b外，它們在a內的射影A₁，B₁，C₁，D₁是平行四邊形的四個頂點，在b內的射影A₂，B₂，C₂，D₂在一條直線上，求證：ABCD是平行四邊形．

Answer 1

分析：先說明A，B，C，D四點共面，再根據平面ABB₁A₁與平面CDD₁C₁平行的性質定理可知平面ABCD與平面ABB₁A₁的交線AB，與平面CDD₁C₁的交線是CD，AB∥CD，AD∥BC，從而問題得證．

解答：證明：∵A，B，C，D四點在b內的射影A₂，B₂，C₂，D₂在一條直線上，
∴A，B，C，D四點共面．
又A，B，C，D四點在a內的射影A₁，B₁，C₁，D₁是平行四邊形的四個頂點，
∴平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁．
∴AB，CD是平面ABCD與平面ABB₁A₁，平面CDD₁C₁的交線．
∴AB∥CD．同理AD∥BC．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

點評：本小題主要考查平面與平面平行的性質，以及平面的基本性質及推論，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．