Question

【題目】已知拋物線的焦點為，圓：與軸的一個交點為，圓的圓心為，為等邊三角形.

求拋物線的方程；

設圓與拋物線交于兩點，點為拋物線上介于兩點之間的一點，設拋物線在點處的切線與圓交于兩點，在圓上是否存在點，使得直線均為拋物線的切線，若存在求出點坐標（用表示）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】；存在,.

【解析】

(1)由題意，從而求得拋物線方程；

（2）設，可設出切線方程及，并設出過點的直線

與拋物線相切，從而聯立拋物線知，同理，可表示過點N的切線，從而計算兩直線相交的交點，于是可得答案.

是等邊三角形，

原點為中點，半徑

圓，半徑，拋物線

設，過點作拋物線的兩條切線（異于直線）交于點，并設切線，

由替換法則，拋物線在點處的切線方程為

即記①

設過點的直線與拋物線相切，代入拋物線方程得

，即

根據韋達定理，

由①可得， ②

同理可得，

切線③

④

聯立與圓可得，

韋達定理可得

，

聯立③、④并代入可求得，代入③可求得 .

所以

即切線的交點在圓上，故存在圓上一點滿足均為拋物線的切線.