Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₁=1，點（n，S_n）在曲線C上，C和直線x-y+1=0交于A，B兩點，|AB|=

6

，那么這個數列的通項公式是（　　）

A．a_n=2n-1

B．a_n=3n-2

C．a_n=4n-3

D．a_n=5n-4

Answer 1

分析：根據等差數列的性質，可以設出s_n=an²+bn，因為其點（1，1），求出a與b的關系，聯立直線與曲線C的方程可得一個方程，與A，B點橫坐標與方程系數的關系，根據，|AB|=

6

，求出a的值，求出S_n，可以求出這個數列的通項公式a_n；

解答：解：等差數列{a_n}的前n項和為S_n，
不妨設s_n=an²+bn，A，B兩點橫坐標為x₁，x₂，
過點（1，1），
所以1=a+b，曲線C應為y=ax²+（1-a）x…①
直線：x-y+1=0…②交于A，B兩點，|AB|=

6

，
聯立①②可得，ax²-ax-1=0，
x₁+x₂=1，x₁，•x₂=-

1

a

，
因為|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

1-4× -1 a

=

6

，
∴a=2，b=-1，
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2n²-n-（-2n²-5n+3）=4n-3，
當n=1，可得s₁=1，
這個數列的通項公式：a_n=4n-3；
故選C；

點評：此題主要考查數列與解析幾何的綜合，是一道綜合題，難度比較大，計算量比較大，思路比較清晰，考查的知識點比較全面，此題是一道好題；