Question

對于數列，如果存在一個正整數，使得對任意的（）都有成立，那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，以下簡稱周期。例如當時是周期為的周期數列，當時是周期為的周期數列。

       （1）設數列滿足（），（不同時為0），且數列是周期為的周期數列，求常數的值；

       （2）設數列的前項和為，且．

①若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；

②若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；

       （3）設數列滿足（），，，，數列 的前項和為，試問是否存在，使對任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，    說明理由；

Answer 1

解：（1）由數列是周期為的周期數列，

且，即， …………4分

（2）當時，，又得．……………………………5分

當時，，

即或．……………………………6分

①由有，則為等差數列，即，

由于對任意的都有，所以不是周期數列……………………………8分

②由有，數列為等比數列，即，

即對任意都成立，

即當時是周期為2的周期數列。…………………………10分

（3）假設存在，滿足題設。

于是又則

所以是周期為3的周期數列，所以的前3項分別為，……………………12分

則，               ………………14分

當時，

當時，

當時，

綜上，                             ……………16分

為使恒成立，只要，即可，

綜上，假設存在，滿足題設，，。………………18分