Question

【題目】已知橢圓（），的兩個焦點， ，點在此橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，設點，記直線的斜率分別為，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】試題分析：（1）依題意， ，利用點與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直，可得 ，從而可得橢圓的方程；
（2）①當直線的斜率不存在時，求出的坐標，進而可得直線的斜率，即可求得結論；②當直線的斜率存在時，直線的方程為： ，代入，利用韋達定理及斜率公式可得結論．

試題解析：(1)根據焦點坐標得： ，而點與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直，根據橢圓的對稱性故有；所以,

故橢圓的方程為．

（2）①當直線的斜率不存在時，由，解得，不妨設， ，則為定值。

②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，將代入整理化簡得： 。

設，則，

又，所以

，

綜上為常數2.