Question

【題目】設A是同時符合以下性質的函數f(x)組成的集合：

①x∈[0，＋∞)，都有f(x)∈(1,4]；②f(x)在[0，＋∞)上是減函數.

(1)判斷函數f1(x)＝2－和f2(x)＝1＋3· (x≥0)是否屬于集合A，并簡要說明理由；

(2)把(1)中你認為是集合A中的一個函數記為g(x)，若不等式g(x)＋g(x＋2)≤k對任意的x≥0總成立，求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由函數的解析式可得函數的滿足，則該函數不在集合A中，考查函數的性質可得函數在集合A中；

(2)結合(1)的結論可得，結合函數的解析式可得實數的取值范圍是.

試題解析：

(1)f1(x)＝2－不在集合中，f2(x)＝1＋3·x在集合A中，

理由：f1(x)＝2－，∵≥0，

∴2－≤2，

∴f1(x)不在集合A中．

又∵x≥0時，0＜x≤1，

∴1＜1＋3·x≤4，

即f2(x)∈(1,4]，

又函數y＝x在[0，＋∞)是減函數，

∴f2(x)＝1＋3·x在[0，＋∞)也是減函數．

(2)由(1)知g(x)＝1＋3·x，

故F(x)＝g(x)＋g(x＋2)＝1＋3·x＋1＋3·x＋2＝2＋·x.

因為當x≥0時，0＜x≤1，

∴2＜2＋·x≤，

∴k≥.

故k的取值范圍為.