Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．

（1）是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程;若不存在，請說明理由；

（2）求證:過A，B，C三點的圓過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）存在，（2）證明見解析，圓方程恒過定點或

【解析】

（1）將曲線Γ方程中的y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．利用韋達定理求出C，通過坐標化，求出m得到所求圓的方程．

（2）設過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程組利用圓系方程，推出圓P方程恒過定點即可．

由曲線Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R），

令y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．

設A（x1，0），B（x2，0），

則可得△＝m2﹣8m＞0，x1+x2＝m，x1x2＝2m．

令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）．

（1）若存在以AB為直徑的圓過點C，則，得，

即2m+4m2＝0，

所以m＝0或．由△＞0，得m＜0或m＞8，所以，

此時C（0，﹣1），AB的中點M（，0）即圓心，半徑r＝|CM|

故所求圓的方程為．

（2）設過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2

滿足

代入P得

展開得（﹣x﹣2y+2）m+x2+y2﹣y＝0

當，即時方程恒成立，

∴圓P方程恒過定點（0，1）或．