Question

【題目】對于數列， ， ， ，若滿足，則稱數列為“數列”．

若存在一個正整數，若數列中存在連續的項和該數列中另一個連續的項恰好按次序對應相等，則稱數列是“階可重復數列”，

例如數列因為， ， ， 與， ， ， 按次序對應相等，所以數列是“階可重復數列”．

（I）分別判斷下列數列， ， ， ， ， ， ， ， ， ．是否是“階可重復數列”？如果是，請寫出重復的這項；

（II）若項數為的數列一定是 “階可重復數列”，則的最小值是多少？說明理由；

（III）假設數列不是“階可重復數列”，若在其最后一項后再添加一項或，均可 使新數列是“階可重復數列”，且，求數列的最后一項的值．

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ） 的最小值是；（III）.

【解析】試題分析：（I）根據條件及給出的新定義判斷；（II）結合所給出的新定義，分類討論可得結果；（III）用反證法進行推理，可得而。

試題解析：

（I）

（Ⅱ）因為數列的每一項只可以是或，所以連續項共有種不同的情形．

若，則數列中有組連續項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為的數列一定是“階可重復數列”；

若，數列， ， ， ， ， ， ， ， ， 不是“階可重復數列”；則時，均存在不是“階可重復數列”的數列．

所以要使數列一定是“階可重復數列”，則的最小值是．

（III）由于數列在其最后一項后再添加一項或，均可使新數列是“階可重復數列”，即在數列的末項后再添加一項或，

則存在，使得， ， ， ， 與， ， ， ， 按次序對應相等，或， ， ， ， 與， ， ， ， 按次序對應相等，如果， ， ， 與， ， ， 不能按次序對應相等，

那么必有， ， ，使得， ， ， 、， ， ， 與， ， ， 按次序對應相等．

此時考慮， 和，其中必有兩個相同，這就導致數列中有兩個連續的五項恰按次序對應相等，從而數列是“階可重復數列”，這和題設中數列不是“階可重復數列”矛盾！

所以， ， ， 與， ， ， 按次序對應相等，從而．