Question

14、已知f（x）是R上的偶函數，f（2）=-1，若f（x）的圖象向右平移1個單位長度，得到一個奇函數的圖象，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=

-1

．

Answer 1

分析：由題意f（x）是R上的偶函數，f（x-1）是R上的奇函數，由此可以得出函數的周期為4，再由f（2）=-1求出f（-2）=-1，由奇函數的性質得出f（-1）=0，從而可得f（1）=0，求出一個周期上的四個函數的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．

解答：解：由題意f（x）是R上的偶函數，f（x-1）是R上的奇函數，
f（-x）=f（x），f（-x-1）=-f（x-1），①
∴f（-x-1）=f（x+1），②
由①②得f（x+1）=-f（x-1）③恒成立，
∴f（x-1）=-f（x-3）④
由③④得f（x+1）=f（x-3）恒成立，
∴函數的周期是4，下研究函數一個周期上的函數的值
由于f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個奇函數的圖象即f（0-1）=0，即f（-1）=0，
由偶函數知f（1）=0，由周期性知f（3）=0
由f（2）=-1得f（-2）=-1，由f（x+1）=-f（x-1），知f（0）=1，故f（4）=1
故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=f（2009）+f（2010）=f（1）+f（2）=0+（-1）=-1　
故選A

點評：本題考查函數奇偶性的運用，求解本題的關鍵是根據函數的性質求出函數的周期以及一個周期中函數值的和，然后根據周期性求出函數值的和．