Question

已知在三棱錐T-ABC中，TA，TB，TC兩兩垂直，T在地面ABC上的投影為D，給出下列命題：
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是銳角三角形；
③

1

TD2

=

1

TA2

+

1

TB2

+

1

TC2

；
④

S

2△ABC

=

1

3

(

S

2△TAB

+

S

2△TAC

+

S

2△TBC

)（注：S_△ABC表示△ABC的面積）
其中正確的是______（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

對于①，TA，TB，TC兩兩垂直可得：TA⊥平面TBC，從而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB，故①正確；
②設TA=a；TB=b；TC=c，則AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，Ac²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB×AC

=

a2+b2+a2+c2-c2-b2

2 a2+b2 a2+c2

=

a2

a2+b2 a2+c2

＞0，同理可證cosB＞0，cosC＞0，所以，）△ABC是銳角三角形．
③設TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=

bc

b2+c2

，
在三角形ABC中，有：AE=

a2b2+b2c2+c2a2

b2+c2

由于AE×TD=TA×TE
∴

a2b2+b2c2+c2a2

b2+c2

×TD=a×

bc

b2+c2

，
∴a²b²c²=（a²b²+b²c²+c²a²）TD ²
∴

1

TD2

=

1

TA2

+

1

TB2

+

1

TC2

；成立
故③對
④：S_△BCA²=S_△TBC²+S_△ACT²+S_△TAB²．證明如下：
如圖作TE⊥CB于E，連AE，則AE⊥CB．
S_△BCA² =

1

4

BC2•AE² =

1

4

BC2•（AT²+TE²）=

1

4

（TB²+TC²）（AT²+TE²）
=

1

4

（TB²TC² +TA²TC²+TA²TB² ）=S_△TBC²+S_△ACT²+S_△TAB²，
故不對；
故答案為：①②③．