Question

一動圓與圓x²+y²+6x+5=0外切，同時與圓x²+y²-6x-91=0內切，則動圓圓心M的軌跡方程是

x2

36

+

y2

27

=1

．

Answer 1

分析：求出兩個圓的圓心與半徑，設出動圓的圓心坐標，判斷動圓的圓心的軌跡滿足橢圓的定義，然后求解方程．

解答：解：設動圓圓心為M（x，y），半徑為R，設已知圓的加以分別為O₁、O₂，
將圓x²+y²+6x+5=0的方程分別配方得：（x+3）²+y²=4，
圓x²+y²-6x-91=0化為（x-3）²+y²=100，
當動圓與圓O₁相外切時，有|O₁M|=R+2…①
當動圓與圓O₂相內切時，有|O₂M|=10-R…②
將①②兩式相加，得|O₁M|+|O₂M|=12＞|O₁O₂|，
∴動圓圓心M（x，y）到點O₁（-3，0）和O₂（3，0）的距離和是常數12，
所以點M的軌跡是焦點為點O₁（-3，0）、O₂（3，0），長軸長等于12的橢圓．
∴2c=6，2a=12，
∴c=3，a=6
∴b²=36-9=27
∴圓心軌跡方程為

x2

36

+

y2

27

=1．
故答案為：

x2

36

+

y2

27

=1．

點評：本題以兩圓的位置關系為載體，考查橢圓的定義，考查軌跡方程，確定軌跡是橢圓是關鍵．